Reconocer el tipo ahorra cuentas: en una triangular el determinante es el producto de la diagonal, en una simétrica la traspuesta no hay que calcularla, y en una ortogonal la inversa es la traspuesta. Son atajos que se usan sin avisar.
El catálogo
| Tipo | Definición | Atajo que da |
|---|---|---|
| Diagonal | ceros fuera de la diagonal | |A| es el producto de la diagonal |
| Triangular | ceros por debajo (o por encima) | igual: producto de la diagonal |
| Simétrica | A = At | no hace falta trasponer |
| Antisimétrica | At = −A | la diagonal es toda ceros |
| Ortogonal | At = A−1 | la inversa sale gratis |
Propiedades de la traspuesta
(A+B)t = At + Bt (AB)t = BtAt
Fíjate en la segunda: al trasponer un producto, se da la vuelta al orden. Lo mismo pasa con la inversa: (AB)−1 = B−1A−1. Es la misma idea, y las dos se preguntan.
¿Por qué la diagonal de una antisimétrica es cero?
- Antisimétrica significa At = −A.
- Al trasponer, el elemento (i, i) de la diagonal se queda donde está.
- Así que aii = −aii.
- El único número igual a su opuesto es el cero.
Lo que no se cumple
Conviene tener claro qué no vale, porque son los errores que se cometen por analogía con los números:
- AB ≠ BA en general.
- AB = 0 no implica que A = 0 o B = 0.
- AB = AC no implica B = C, salvo que A tenga inversa.
Dónde se lía todo el mundo
Trasponer o invertir un producto sin dar la vuelta al orden. Es una propiedad que se recuerda mal precisamente porque con números no hay orden que respetar.
(AB)t = AtBt(AB)t = BtAtY lo mismo con la inversa: el orden se invierte.
En una frase: cada tipo de matriz da un atajo, y al trasponer o invertir un producto el orden de los factores se da la vuelta.