Un límite contesta «¿a dónde se dirige esto?» sin necesidad de que llegue. Es la pregunta que se hace de una cuota de mercado que se va acercando a un tope, o de un coste medio que baja al producir más.
Qué significa
límx→a f(x) = L
Cuanto más se acerca x a a, más se acerca f(x) a L. Y lo primero que hay que fijar:
El límite no mira cuánto vale la función en a: mira hacia dónde va al acercarse. Puede haber límite aunque la función no exista en ese punto.
Cómo se calcula
- Se sustituye. Si sale un número, ese es el límite y ya está.
- Si sale 0/0, hay que transformar: factorizar arriba y abajo y simplificar.
- Si sale k/0 con k ≠ 0, el límite es infinito. No es indeterminación.
Calcular límx→3 (x − 9) : (x − 3)
- Sustituyo: (9 − 9) : (3 − 3) = 0/0.
- Factorizo arriba: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Simplifico el factor común, que puedo porque x se acerca a 3 pero no vale 3.
- Queda límx→3 (x + 3) = 6.
Límites laterales
Se puede llegar por la izquierda o por la derecha. El límite existe solo si los dos coinciden. En una tarifa por tramos esto importa: si el precio salta al pasar de 100 unidades, los laterales en 100 son distintos y no hay límite.
Dónde se lía todo el mundo
Tratar «0/0» como si fuera 0. Indeterminado quiere decir «así escrito no se ve», no «vale cero».
(0 : 0) = 0, así que el límite es 00/0 no decide nada: hay que factorizar y simplificarCasi siempre, después de simplificar sale un límite normal.
En una frase: el límite dice a dónde se dirige la función, se calcula sustituyendo, y si sale 0/0 hay que factorizar y simplificar.