Es la pregunta práctica de todo modelo de crecimiento: cuándo se duplicará una inversión, cuándo alcanzará la población cierta cifra, cuánto falta para saldar una deuda.
Ecuaciones exponenciales
Hay dos caminos, y conviene probar el primero antes que el segundo:
- Si los dos lados se pueden poner con la misma base, se igualan los exponentes y ya está.
- Si no, se toman logaritmos en los dos lados y se baja el exponente.
Resolver 2x = 8
- 8 se puede escribir como 23.
- Queda 2x = 23.
- Misma base, así que se igualan los exponentes.
- x = 3. Sin logaritmos ni calculadora.
Resolver 1,1x = 2
- 2 no es una potencia de 1,1: no hay base común.
- Tomo logaritmos: x · log 1,1 = log 2.
- x = log 2 : log 1,1.
- = 0,3010 : 0,0414 = 7,27.
Ecuaciones logarítmicas
Se agrupa todo en un solo logaritmo con las propiedades y después se quita aplicando la definición:
loga x = c ⟹ x = ac
Y hay que comprobar la solución. No es un consejo: es obligatorio. No existe el logaritmo de un número negativo ni de cero, así que una solución que deje algo no positivo dentro del logaritmo hay que descartarla, aunque cumpla la ecuación transformada.
Dónde se lía todo el mundo
Dividir los números en vez de sus logaritmos. x no es 2 : 1,1.
x = 2 : 1,1 = 1,82 añosx = log 2 : log 1,1 = 7,27 añosPrimero se toman logaritmos y después se divide.
En una frase: si hay base común se igualan exponentes, si no se toman logaritmos, y en las logarítmicas hay que comprobar que la solución no deja nada negativo dentro.