Es el modelo del interés compuesto, de la inflación acumulada, de la audiencia de algo que se comparte. Y explica por qué una deuda pequeña con un interés alto se vuelve impagable: no crece sumando, crece multiplicando.
La forma
f(x) = C · ax
C es el valor inicial y a el factor de crecimiento: por lo que se multiplica cada periodo.
| Si a… | La función… | Ejemplo |
|---|---|---|
| > 1 | crece | 1,05 → sube un 5 % cada año |
| entre 0 y 1 | decrece | 0,90 → baja un 10 % cada año |
La diferencia con lo lineal
Es la idea central de la unidad:
| Crecimiento | Cada periodo… |
|---|---|
| Lineal | se suma siempre la misma cantidad |
| Exponencial | se multiplica siempre por lo mismo |
Al principio lo lineal puede ir por delante. A la larga, lo exponencial siempre gana, y por mucho: 100 € al 5 % son 105 el primer año y 13 150 al cabo de un siglo.
Una población de 1 000 crece un 10 % al año. ¿Cuántos hay a los 3 años?
- Factor: 1 + 0,10 = 1,1.
- P(3) = 1000 · 1,13.
- = 1000 · 1,331 = 1 331.
- No son 1 300: los 31 de más son el crecimiento sobre el crecimiento.
Las propiedades que hacen falta
am · an = am+n a0 = 1 a−n = 1 : an
Dónde se lía todo el mundo
Multiplicar la base por el exponente. 23 no es 6: es 2·2·2 = 8.
1,13 = 3,31,13 = 1,331El exponente cuenta cuántas veces se multiplica, no por cuánto.
En una frase: lo exponencial multiplica por un factor fijo cada periodo, y por eso a la larga siempre adelanta a lo lineal.